解题思路：（1）如图1，延长AO交⊙O于点M，连接BM．欲证直线AD与⊙O相切，只需证明AO⊥AD即可；（2）如图2，连接AO、BO．利用圆周角定理证得△AOB为等边三角形；分类讨论：①当求劣弧AB的弧长时，该弧所对的圆心角的度数为60°；②当求优弧AB的弧长时，该弧所对的圆心角的度数为300°；（3）①如图3，过点O作OM1⊥BC．AC为⊙O的直径时，根据圆周角定理、三角形中位线定理可知OM1=12AB=1；②如图3，过点O作OM2⊥BC．当BC∥AD时，利用切线的性质、垂径定理可知OM2=12OC=12AB=12．
（1）直线AD与⊙O相切．理由如下：
如图1，延长AO交⊙O于点M，连接BM．
∵AM是⊙O直径，
∴∠ABM=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠AMB+∠MAB=90°（直角三角形的两个锐角互余）．
在⊙O中，∵∠DAB=∠ACB，且∠ACB=∠AMB（同弧所对的圆周角相等），
∴∠DAB+∠MAB=90°，即AO⊥AD；
又∵直线AD经过半径OA的外端点A，
∴直线AD与⊙O相切．
（2）连接AO、BO．
在⊙O中，∵∠DAB=∠ACB=30°，∴∠AOB=60°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）．
∵AO=BO，∴△ABO为等边三角形，∴AO=BO=AB=1
AB=[60π1/180]=[π/3]，或者
AB=[300π1/180]=[5π/3]；
（3）2或1．
作直径AC，则∠ABC=90°，
又∵OM⊥BC，
∴AB∥OM．
∴OM=[1/2]AB=[1/2]，
则当AC是直径时满足条件，此时AC=2；
过点O作OM2⊥BC．当BC∥AD时，垂径定理可知OM2=[1/2]OC=[1/2]AB=[1/2]．则△AOC是等边三角形．
则AC=OC=1．
点评：
本题考点： 圆的综合题．
考点点评： 本题考查了圆的综合题：直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半；三角形中位线定理；垂径定理等知识点是综合运用．