Question

求证：1+2+2^2+2^3+…+2^(5n-2)能被31整除（n∈N）

Answer 1

不是5n-2是5n-1.

1+2+2^2+2^3+…+2^(5n-1)

=2^5n-1

=32^n-1

=(31+1)^n-1

=31^n+C(n,1)31^(n-1)+C(n,2)31^(n-2)+...+C(n,n-1)31+1-1

=31^n+C(n,1)31^(n-1)+C(n,2)31^(n-2)+...+C(n,n-1)31

显然是31的倍数.