Question

求由曲面z=0及z=4-x^2-y^2所围空间立体的体积?二重积分解

Answer 1

联立z1=x^2+2y^2及z2=6-2x^2-y^2

消去z得x^2+y^2=2（图略.z2在上z1在下）

知方体Ω在xoy面投影区域为D:x^2+y^≤2

极坐标中0≤θ≤2π,0≤r≤√2

那么立体的Ω体积

V=∫∫(z2-z1)dxdy

=3∫∫(2-x^2-y^2)dxdy

=3∫(0,2π)dθ∫（2-r^2)rdr

=6π[2r^2-(1/4)r^4]|(0,√2)

=6π