Question

已知函数f(x)＝2x−12x+1，（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断并用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上的单调性

Answer 1

解题思路：（1）由函数

f(x)＝

2

x

−1

2

x

+1

的解析式，易判断其定义域为R，进而判断f（-x）与f（x）的关系，进而根据函数奇偶性的定义，可得答案．

（2）任取R上两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，作差判断f（x₁），f（x₂）的大小，进而根据函数单调性的定义得到答案．

（1）∵函数f(x)＝

2x−1

2x+1的定义域为R，

且f(−x)＝

2−x−1

2−x+1=

1−2x

1+2x=-f（x）

∴函数f(x)＝

2x−1

2x+1为奇函数

（2）任取（-∞，+∞）上两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，

则x₁-x₂＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，

则f（x₁）-f（x₂）=

2x1−1

2x1+1-

2x2−1

2x2+1=

2(2x1−2x2)

(2x1+1)•(2x2+1)＜0

即f（x₁）＜f（x₂）

∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函数；

点评：

本题考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，熟练掌握函数奇偶性的证明步骤及单调性证明的方法和步骤是解答本题的关键．