Question

已知函数f(x)＝a−12x−1，（a∈R）

Answer 1

解题思路：（1）由分式成立的条件可得，2^x-1≠0，从而可求函数的定义域

（2）由函数为奇函数可得f（-x）+f（x）=0对定义域内的任意x都成立，代入整理可求a

（3）利用函数的单调性的定义：设x₁，x₂∈（-∞，0）∪（0，+∞），且x₁＞x₂，通过做差判断f（x₁）与f（x₂）的大小，即可判断函数的单调性

（1）由分式成立的条件可得，2^x-1≠0，

∴x≠0，定义域为{x|x∈R且x≠0}

（2）函数为奇函数可得f（-x）+f（x）=0对定义域内的任意x都成立

∴a−

1

2−x−1+a−

1

2x−1＝0

∴2a＝

1

2x−1−

2x

2x−1=-1

∴a＝−

1

2

（3）设任意的x₁，x₂∈（-∞，0）∪（0，+∞），且x₁＞x₂，

则f(x1)−f(x2)＝

1

2x2−1−

1

2x1−1＝

2x1−2x2

(2x2−1)(2x1−1)＞0

∴f（x₁）＞f（x₂）

∴f（x）在定义域上单调递增．

点评：

本题考点： 指数函数综合题．

考点点评： 本题主要考查了函数分式型函数的定义域的求解，奇函数定义的应用，及利用函数的单调性的定义判断函数的单调性，是函数的性质的综合应用．解题的关键是灵活应用函数的性质．