解题思路：（1）先求出f′（x）=[x−a
x
2
，x＞0，再讨论①a≤0时，②a＞0时的情况，从而求出函数的最小值；
（2）a=2时，由（1）得f（x）≥ln2+1，从而lnx≥ln2+1-
2/x]=ln（2e）-[2/x]（*），分别令x=[2/1]，[3/2]…，[n+1/n]代入（*）得下列n个不等式，得ln[2/1]++ln[3/2]+…+ln[n+1/n]＞nln（2e）-2（[1/2]+2×[2/3]+…+2×[n/n+1]），进而证明ln（n+1）+2
n
i＝1
[i/i+1]＞nln（2e）．
（1）∵f′（x）=[x−a
x2，x＞0，
①a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上递增，
∴f（x）无最值，
②a＞0时，
令f′（x）＞0，解得：x＞a，
令f′x）＜0，解得：0＜x＜a，
∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，
∴f（x）min=f（a）=lna+1，
综上，a≤0时，f（x）无最值，a＞0时，f（x）min=f（a）=lna+1，
（2）a=2时，由（1）得f（x）≥ln2+1，
即
2/x]+lnx≥ln2+1，从而lnx≥ln2+1-[2/x]=ln（2e）-[2/x]（*），
∴分别令x=[2/1]，[3/2]…，[n+1/n]代入（*）得下列n个不等式，
ln[2/1]＞ln（2e）-[2
2/1]=ln（2e）-2×[1/2]，
ln[3/2]＞ln（2e）-[2
3/2]=ln（2e）-2×[2/3]，
…，
ln[n+1/n]＞ln（2e）-（2×[n/n+1]），
将所述n个不等式相加得：
ln[2/1]++ln[3/2]+…+ln[n+1/n]＞nln（2e）-2（[1/2]+2×[2/3]+…+2×[n/n+1]），
∴ln（n+1）＞nln（2e）-2（[1/2]+[2/3]+…+[n/n+1]），
即ln（n+1）+2
n
i＝1
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，不等式的证明，是一道综合题．
1年前
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