Question

如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于N，连接BM，DN．

Answer 1

解题思路：（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；

（2）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM²=AM²+AB²，即可列方程求得．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形

∴AD∥BC，∠A=90°，

∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，

∵在△DMO和△BNO中

∠MDO＝∠NBO

BO＝DO

∠MOD＝∠NOB

∴△DMO≌△BNO（ASA），

∴OM=ON，

∵OB=OD，

∴四边形BMDN是平行四边形，

∵MN⊥BD，

∴平行四边形BMDN是菱形．

（2）∵四边形BMDN是菱形，

∴MB=MD，

设MD长为x，则MB=DM=x，

在Rt△AMB中，BM²=AM²+AB²

即x²=（4-x）²+2²，

解得：x=[5/2]，

答：MD长为[5/2]．

点评：

本题考点： 菱形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．

考点点评： 本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．