解题思路：（1）①证明：在AB上截取AG=AE，连接EG．通过ASA证明△BGE≌△EDF，根据全等三角形的性质即可得出BE=EF；
②先在Rt△ABE中运用勾股定理求出BE2=AE2+AB2=（4-x）2+42，再根据三角形面积公式，可得y关于x的函数解析式；
（2）存在．分Ⅰ）当点E在线段AD上时；Ⅱ）当点E在线段AD延长线上时；Ⅲ）当点E在线段DA延长线上时；三种情况讨论即可求解．
（1）①证明：如图1，在AB上截取AG=AE，连接EG，则∠AGE=∠AEG．
∵∠A=90°，∠A+∠AGE+∠AEG=180°，
∴∠AGE=45°．
∴∠BGE=135°．
∵AD∥BC，
∴∠C+∠D=180°．
又∵∠C=45°，
∴∠D=135°，
∴∠BGE=∠D．
∵AB=AD，AG=AE，
∴BG=DE．
∵EF⊥BE，
∴∠BEF=90°．
又∵∠A+∠ABE+∠AEB=180°，
∠AEB+∠BEF+∠DEF=180°，
∠A=90°，
∴∠ABE=∠DEF．
在△BGE与△EDF中，
∠BGE＝∠D
BG＝DE
∠ABE＝∠DEF，
∴△BGE≌△EDF（ASA），
∴BE=EF；
②在Rt△ABE中，∵∠A=90°，AB=AD=4，DE=x，
∴BE2=AE2+AB2=（4-x）2+42，
∵BE=EF，
∴y=[1/2]BE•EF=[1/2]BE2=[1/2]×[（4-x）2+42]=
x2−8x+32
2，
故y关于x的函数解析式为：y=
x2−8x+32
2，
此函数的定义域为：0＜x＜4；
（2）直线AD上存在一点E，能够使△BEF是△ABE面积的3倍．理由如下：
分三种情况：
Ⅰ）当点E在线段AD上时，如图1．
∵S△ABE=[1/2]AB•AE=[1/2]×4×（4-x）=8-2x，S△BEF=
x2−8x+32
2，
∴
x2−8x+32
2=3×（8-2x），
整理，得x2+4x-16=0，
解得x=-2±2
5（负值舍去），
则DE=-2+2
5；
Ⅱ）当点E在线段AD延长线上时，如图2，延长AB到G，使BG=DE，连接EG，则△AGE为等腰直角三角形．
∵AE∥
点评：
本题考点： 四边形综合题．
考点点评： 本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，梯形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，综合性较强，有一定的难度．运用数形结合、分类讨论是解题的关键．