以直角三角形ABC的两直角边AB、BC为一边,分别向外作等边三角形△ABE和等边△BCF,连结EF、EC.试说明:

2个回答

  • 解题思路:(1)根据等边三角形的性质可得AB=BE,BC=BF,∠ABE=∠CBF=60°,再根据周角等于360°求出∠EBF=150°,从而得到∠EBF=∠CBE,然后利用“边角边”证明△BCE和△BFE全等,根据全等三角形对应边相等可得EF=EC;

    (2)根据全等三角形对应角相等可得∠BEC=∠BEF,再根据等腰三角形三线合一的性质即可得证.

    证明:∵△ABE和△BCF都是等边三角形,

    ∴AB=BE,BC=BF,∠ABE=∠CBF=60°,

    ∵∠ABC=90°,

    ∴∠CBE=90°+60°=150°,

    ∠EBF=360°-60°×2-90°=150°,

    ∴∠EBF=∠CBE,

    在△BCE和△BFE中,

    AB=BE

    ∠EBF=∠CBE

    BC=BF,

    ∴△BCE≌△BFE(SAS),

    ∴EF=EC;

    (2)∵△BCE≌△BFE,

    ∴∠BEC=∠BEF,

    又∵EF=EC,

    ∴EB⊥CF.

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.

    考点点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,等腰三角形三线合一的性质,根据角度相等求出∠EBF=∠CBE是证明三角形全等的关键,也是本题的难点.