Question

如图，椭圆C：x24+y22=1的左、右顶点分别为A、B，垂直于x轴的直线交椭圆C于P、Q两点，过原点O作OD⊥AP于D

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）设P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），则由已知条件推导出k_AP•k_BQ=[1/2]，

（Ⅱ）设OC的斜率为k，则OD的斜率为[2/k]，由OC交AP于C，得

x

C

＝−

2

k

2

+1

，

y

C

＝−

2k

k

2

+1

，OD交BQ于D，得

x

D

＝

2

k

2

k

2

+4

，

y

D

＝

4k

k

2

+4

，由CD过（m，0），能求出m∈（-[2/3]，[2/3]）．

（Ⅰ）证明：设P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），

则k_AP•k_BQ=

y0

x0+2•

−y0

x 0−2=

−y02

x02−4

=

−y02

x02−4=

−y02

−2y02=[1/2]，

（Ⅱ）设OC的斜率为k，则OD的斜率为[2/k]，

OC交AP于C，得：

y＝kx

y＝−

1

k(x+2)，

解得xC＝−

2

k2+1，yC＝−

2k

k2+1，

OD交BQ于D，得：

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查两直线斜率之积为定值的证明，考查实数取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．