Question

（2014•唐山三模）过抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点M分别向C的准线和x轴作垂线，两条垂线及C的准线和x轴围成

Answer 1

解题思路：（1）抛物线C的准线x=-[p/2]，依题意M（4-[p/2]，4），则4²=2p（4-[p/2]），即可求抛物线C的方程及点M的坐标；

（2）求出线AB的方程，与抛物线方程联立，求出|AB|、点M到直线AB的距离，即可求△MAB的面积．

（1）抛物线C的准线x=-[p/2]，依题意M（4-[p/2]，4），

则4²=2p（4-[p/2]），解得p=4．

故抛物线C的方程为y²=8x，点M的坐标为（2，4），…（4分）

（2）设A（

y21

8，y₁），B（

y22

8，y₂）．

直线MA的斜率k₁=

y1−4

y21

8−

y22

8=[8/y1+4]，同理直线MB的斜率k₂=[8/y2+4]．

由题设有[8/y1+4]+[8/y2+4]=0，整理得y₁+y₂=-8．

直线AB的斜率k=

y1−y2

y21

8−

y22

8=[8/y1+y2]=-1．…（8分）

于是直线AB的方程为y=-x-1．

由

y2＝8x

y＝−x−1得y²+8y+8=0．

|y₁-y₂|=

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．

考点点评： 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．