Question

已知椭圆G的中心在原点,焦点在x轴上,它的离心率为根号2/2,直线l过点(1,0)且与椭圆G相较于A、B两点,

Answer 1

c/a=1/√2,∴a^=2c^,b^=c^,

∴椭圆G:x^/(2c^)+y^/c^=1.①

把l:x=my+1②代入①得m^y^+2my+1+2y^=2c^,

(m^+2)y^+2my+1-2c^=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),则

y1+y2=-2m/(m^+2),y1y2=(1-2c^)/(m^+2),

AB的中点M：yM=-m/(m^+2),

由②,xM=2/(m^+2),

M在直线y=x/2上,

∴m=-1,

∴l的方程是x+y-1=0.

右焦点F(c,0)关于l的对称点是F'(1,1-c),

F'在椭圆上,

∴1/(2c^)+(1-c)^/c^=1,

∴1+2（1-2c+c^)=2c^,

3=4c,c=3/4,

∴椭圆方程是x^/(9/8)+y^/(9/16)=1.