Question

已知等差数列{an}的公差d＞0，其前n项和为Sn，若S3=12，且2a1，a2，1+a3成等比数列．

Answer 1

解题思路：（I）直接由S₃=12以及2a₁，a₂，1+a₃成等比数列，列出关于首项和公差的等式，解方程即可求{a_n}的通项公式；

（II）先把数列{b_n}的通项裂开，再求和即可．

（I）由题得：

2a1(a3+1)=a22

a1+a2+a3=12

即

a1(a1+2d+1) =8

a1+d=4，得d²+d-12=0．

∵d＞0，∴d=3，a₁=1．

∴{a_n}的通项公式a_n=1+3（n-1）=3n-2．

（II）∵b_n=[1

an•an+1=

1

(3n-2)(3n+1)=

1/3]（[1/3n-2]-[1/3n+1]）．

∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n

=[1/3][（1-[1/4]）+（[1/4]-[1/7]）+…+（[1/3n-2]-[1/3n+1]）]

=[1/3]（1-[1/3n+1]）

=[n/3n+1]．

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合；数列的求和．

考点点评： 本题考查等差数列与等比数列的基础知识以及裂项求和的应用．第一问考查方程思想在解决数列问题中的应用．在等差数列、等比数列问题中基本量是解题的关键，一般是根据已知条件把基本量求出来，然后在解决问题．