解题思路：（1）根据函数y=g（x）图象与x轴有两个交点，得它的根的判别式△=b2-4a2＞0，再求y=f（x）的导数f′（x），得
f′（-1）f′（1）＞0，说明一次函数f′（x）=2ax+b在区间（-1，1）的符号均为正数，或均为负数，得出结论；
（2）构造两个函数：F（x）=f（x）-1，G（x）=g（x）-1，通过讨论它们的零点，得出它们的根之间的大小关系．然后通过分类讨论和在同一坐标系里作出F（x）和G（x）的图象，然后将两个图象向上平移一个单位，可得x1，x2，
x3，x4的大小关系，最后综合可得出正确的大小关系．
（1）对函数y=f（x）求导数，得f′（x）=2ax+b
所以f′（-1）f′（1）=（-2a+b）（2a+b）=b2-4a2
∵函数y=g（x）图象与x轴有两个交点
∴y=g（x）根的判别式△=b2-4a2＞0
因此，f′（-1）f′（1）＞0
一次函数f′（x）=2ax+b在区间（-1，1）的符号均为正数，或均为负数
由此可得：y=f（x）在（-1，1）上是单调函数；
（2）记函数F（x）=f（x）-1=ax2+bx，G（x）=g（x）-1=a2x2+bx
两个函数有公共的零点x=0，此外F（x）还有一个零点x=−
b
a，G（x）还有一个零点x=−
b
a2，
①因为a＞1，当b＜0时由（1）得必定有0＜−
b
a2＜ −
b
a，
在同一坐标系里作出F（x）和G（x）的图象：
将此两个图象都上移一个单位，可得函数f（x）和g（x）的图象
所以由图象可得x1＜x3＜x2＜x4 点评：
②当b＞0时，同理可得四个根的大小关系：x1＜x3＜x2＜x4
综上所述，可判断x1，x2，x3，x4的大小关系为：x1＜x3＜x2＜x4
本题考点： 函数单调性的判断与证明；根与系数的关系；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
考点点评： 本题以一元二次方程的根的分布考查了二次函数的图象与性质，所含字母参数较多，属于难题．采用数形结合与分类讨论的思想解题，是本题解决的关键所在．