Question

椭圆x^2+4y^2=16内一点P(1,-1)求过点P的弦的中点的轨迹方程

Answer 1

设过P直线交椭圆A（x1,y1) B(x2,y2)

AB中点(x0,y0) 设x0不为1

设过P直线为y=k(x-1)-1

则y0=k(x0-1)-1.k=(y0+1)/(x0-1)

将AB代入椭圆

x1^2+4y1^2=16

x2^2+4y2^2=16

两式相减得

(x1^2-x2^2)+4(y1^2-y2^2)=0

(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0

2x0(x1-x2)+8y0(y1-y2)=0

两边约去2.再除以同(x1-x2)

x0+4y0*k=0

因为k=(y0+1)/(x0-1)

所以x0+4y0*(y0+1)/(x0-1)＝0

化简得

x^2-x+4y^2+4y=0 (x不等于1)

当x=1时,中点为(1,0)也符合方程.所以

x^2-x+4y^2+4y=0

PS..有兴趣化成圆的标准方程