Question

已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D）,连接PC,过点P作PE⊥PE交A

Answer 1

（1）假设存在这样的点Q；

∵PE⊥PC,∴∠APE+∠DPC=90°,

∵∠D=90°,∴∠DPC+∠DCP=90°,

∴∠APE=∠DCP,又∵∠A=∠D=90°,

∴△APE∽△DCP,

∴ AP/DC= AE/DP,∴AP•DP=AE•DC；

同理可得AQ•DQ=AE•DC；

∴AQ•DQ=AP•DP,即AQ•（3-AQ）=AP•（3-AP）,

∴3AQ-AQ2=3AP-AP2,

∴AP2-AQ2=3AP-3AQ,

∴（AP+AQ）（AP-AQ）=3（AP-AQ）；

∵AP≠AQ,

∴AP+AQ=3

∵AP≠AQ,

∴AP≠ 3/2,即P不能是AD的中点,

∴当P是AD的中点时,满足条件的Q点不存在．

当P不是AD的中点时,总存在这样的点Q满足条件,此时AP+AQ=3．

（2）设AP=x,AE=y,由AP•DP=AE•DC可得x（x-3）=2y,

∴y= 12x（3-x）=- 12x2+ 32x=- 12（x- 32）2+ 98,

∴当x= 32（在0＜x＜3范围内）时,y最大值= 98；

而此时BE最小为 78,

∴BE的取值范围是 78≤BE＜2．