解题思路:设A(x1,y1),C(x2,y2),由双曲线的对称性得B(-x1,-y1),从而得到k1k2=
y
2
−
y
1
x
2
−
x
1
•
y
2
+
y
1
x
2
+
x
1
=
y
2
2
−
y
1
2
x
2
2
−
x
1
2
,利用点差法能推导出
2
k
1
k
2
+ln|k1|+ln|k2|=
2
k
1
k
2
+ln(
k
1
k
2
)
,再由构造法利用导数性质能求出双曲线的离心率.
设A(x1,y1),C(x2,y2),
由题意知点A,B为过原点的直线与双曲线
x2
a2-
y2
b2=1的交点,
∴由双曲线的对称性得A,B关于原点对称,
∴B(-x1,-y1),k1=
y2−y1
x2−x1,k2=
y2+y1
x2+x1,
∴k1k2=
y2−y1
x2−x1•
y2+y1
x2+x1=
y22−y12
x22−x12,
∵点A,C都在双曲线上,
∴
x12
a2−
y12
b2=1,
x22
a2−
y22
b2=1,
两式相减,得:
x12−x22
a2−
y12−y22
b2=0,
∴k1k2=
y12−y22
x12−x22=
b2
a2>0,
∴
2
k1k2+ln|k1|+ln|k2|=
2
k1k2+ln(k1k2),
对于函数y=
2/x+lnx,(x>0),
由y′=−
2
x2+
1
x]=0,得x=0(舍)或x=2,
x>2时,y′=−
2
x2+
1
x>0,
0<x<2时,y′=−
2
x2+
1
x<0,
∴当x=2时,函数y=[2/x]+lnx(x>0)取得最小值,
∴当
2
k1k2+ln|k1|+ln|k2|最小时,k1k2=
b2
a2=2,
∴e=
1+
b2
a2=
3.
故选:B.
点评:
本题考点: 双曲线的简单性质.
考点点评: 本题考查双曲线的离心率的求法,涉及到导数、最值、双曲线、离心率等知识点,综合性强,难度大,解题时要注意构造法的合理运用.