已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点C,过双曲线中心的直线交双曲线于A,B两点,记直线AC,BC的斜

1个回答

  • 解题思路:设A(x1,y1),C(x2,y2),由双曲线的对称性得B(-x1,-y1),从而得到k1k2=

    y

    2

    y

    1

    x

    2

    x

    1

    y

    2

    +

    y

    1

    x

    2

    +

    x

    1

    =

    y

    2

    2

    y

    1

    2

    x

    2

    2

    x

    1

    2

    ,利用点差法能推导出

    2

    k

    1

    k

    2

    +ln|k1|+ln|k2|=

    2

    k

    1

    k

    2

    +ln(

    k

    1

    k

    2

    )

    ,再由构造法利用导数性质能求出双曲线的离心率.

    设A(x1,y1),C(x2,y2),

    由题意知点A,B为过原点的直线与双曲线

    x2

    a2-

    y2

    b2=1的交点,

    ∴由双曲线的对称性得A,B关于原点对称,

    ∴B(-x1,-y1),k1=

    y2−y1

    x2−x1,k2=

    y2+y1

    x2+x1,

    ∴k1k2=

    y2−y1

    x2−x1•

    y2+y1

    x2+x1=

    y22−y12

    x22−x12,

    ∵点A,C都在双曲线上,

    x12

    a2−

    y12

    b2=1,

    x22

    a2−

    y22

    b2=1,

    两式相减,得:

    x12−x22

    a2−

    y12−y22

    b2=0,

    ∴k1k2=

    y12−y22

    x12−x22=

    b2

    a2>0,

    2

    k1k2+ln|k1|+ln|k2|=

    2

    k1k2+ln(k1k2),

    对于函数y=

    2/x+lnx,(x>0),

    由y′=−

    2

    x2+

    1

    x]=0,得x=0(舍)或x=2,

    x>2时,y′=−

    2

    x2+

    1

    x>0,

    0<x<2时,y′=−

    2

    x2+

    1

    x<0,

    ∴当x=2时,函数y=[2/x]+lnx(x>0)取得最小值,

    ∴当

    2

    k1k2+ln|k1|+ln|k2|最小时,k1k2=

    b2

    a2=2,

    ∴e=

    1+

    b2

    a2=

    3.

    故选:B.

    点评:

    本题考点: 双曲线的简单性质.

    考点点评: 本题考查双曲线的离心率的求法,涉及到导数、最值、双曲线、离心率等知识点,综合性强,难度大,解题时要注意构造法的合理运用.