十字相乘法概念
十字相乘法能把某些二次三项式分解因式.这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程.当首项系数不是1时,往往需要多次试验,务必注意各项系数的符号.
例题
例1 把2x^2-7x+3分解因式.
分析：先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)：
2＝1×2＝2×1；
分解常数项：
3=1×3=1×3==(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1
╳
2 3
1×3+2×1 =5
1 3
╳
2 1
1×1+2×3 =7
1 -1
╳
2 -3
1×(-3)+2×(-1)=-5
1 -3
╳
2 -1
1×(-1)+2×(-3)=-7
经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数－7.
解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1).
一般地,对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下：
a1 c1
? ╳
a2 c2
a1a2+a2c1
按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法.
例2： 把6x^2-7x-5分解因式.
分析：按照例1的方法,分解二次项系数6及常数项-5,把它们分别排列,可有8种不同的排列方法,其中的一种
2 1
╳
3 -5
2×(-5)+3×1=-7
是正确的,因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5).
指出：通过例1和例2可以看到,运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解,往往要经过多次观察,才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
对于二次项系数是1的二次三项式,也可以用十字相乘法分解因式,这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式,十字相乘法是
1 -3
╳
1 5
1×5+1×(-3)=2
所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5).
例3 把5x^2+6xy-8y^2分解因式.
分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,把-8y^2看作常数项,在分解二次项及常数项系数时,只需分解5与-8,用十字交叉线分解后,经过观察,选取合适的一组,即
1 2
?╳
5 -4
1×(-4)+5×2=6
解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y).
指出：原式分解为两个关于x,y的一次式.
例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,只有先进行多项式的乘法运算,把变形后的多项式再因式分解.
问：两上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2(x-y),它是第一个因式的二倍,然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式,就可以用十字相乘法分解因式了.
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y) ^2-3(x-y)-2
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
1 -2
╳
2 1
1×1+2×(-2)=－3
指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解,这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
例5 x^2+2x-15
分析：常数项(-15)7 不成立 继续试
第二次
1 2
╳
2 3
1X3+2X2=7 所以 分解后为:(x+2)(2x+3)
可以说十字相乘法是一种很方便有效地方法,掌握了它能对我们学习因式分解更有帮助.
用十字相乘法分解因式：
(1)2x2－5x－12；
(2)3x2－5x－2；
(3)6x2－13x+5；
(4)7x2－19x－6；
(5)12x2－13x+3；
(6)4x2+24x+27.
(7)6x2－13xy+6y2；
(8)8x2y2+6xy－35；
(9)18x2－21xy+5y2；
(10)2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b)
(11)2x2+3x+1；
(12)2y2+y－6；
(13)6x2－13x+6；
(14)3a2－7a－6；
(15)6x2－11xy+3y2；
(16)4m2+8mn+3n2；
(17)10x2－21xy+2y2；
(18)8m2－22mn+15n
(19)4n2+4n－15；
(20)6a2+a－35；
(21)5x2－8x－13；
(22)4x2+15x+9
(23)15x2+x－2；
(24)6y2+19y+10；
(25)20－9y－20y2；
(26)7(x－1)2+4(x－1)(y+2)－20(y+2)
双十字相乘法
分解二次三项式时,我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式．
例如：
分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,于是上式可变形为
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),
可以看作是关于x的二次三项式．
对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为
即
-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕
=(x+2y-3)(2x-11y+1)．
上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,它表示的是下面三个关系式：
(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；
(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；
(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．
这就是所谓的双十字相乘法．
用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：
(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列)；
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
例1 分解因式
(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；
(2)x2-y2+5x+3y+4；
(3)xy+y2+x-y-2；
(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．
(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．
(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．
(3)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．
(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．
说明 (4)中有三个字母,解法仍与前面的类似．
2．求根法
我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号表示,如 f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)表示．
如对上面的多项式f(x),f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根．
定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a．
根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根．