Question

（2011•西安模拟）在正项等差数列{an}中，对任意的n∈N*都有a1+a2+…+an＝12anan+1．

Answer 1

（Ⅰ）在正项等差数列{a_n}中，

对任意的n∈N^*都有a1+a2+…+an＝

1

2anan+1，

令n=1，得a1＝

1

2a1a2，

∵a₁＞0，

∴a₂=2．

令n=2，得a1+a2＝

1

2a2a3，

即a₁+2=a₃=a₁+2d，

故d=1．

∴a_n=2+（n-2）×1=n．

（Ⅱ）证明：∵a_n=n，bn＝2an=2ⁿ，

∴S_n=2+2²+…+2ⁿ

=

2(1−2n)

1−2

=2ⁿ⁺¹-2．

故S_n-b_n+1=（2ⁿ⁺¹-2）-2ⁿ⁺¹=-2，

∴对任意的n∈N^*，S_n-b_n+1均为定值-2．