Question

在平面直角坐标系xoy中,直线l过点M(3,0),且与抛物线y²=2x相交于A,B两点 求证向量OA.向量OB

Answer 1

(1)当K不存在，AB:X=3

假设A在上，B在下，令A(X1,Y1)B(X2,Y2)

则有X1=X2=3,Y1=6^(1/2),Y2=-6^(1/2)

所以OA.OB=X1.X2+Y1.Y2=9-6=3

当K存在，AB：Y=K(X-3)

联立Y^2=2X得

（K/2).Y^2-Y-3K=0,K不等于0

则由韦达定理Y1.Y2=-6

则OA.OB=X1.X2+Y1.Y2=(Y1Y2)^2/4+Y1Y2=9-6=3

(2)假

反例：Y=X/2+1/2与Y^2=2X交于A(X1,Y1),B(X2,Y2)

则A（3+2.2^(1/2),2+2^(1/2)) B(3-2.2^(1/2),2-2^(1/2)）

则OA.OB=(9-8)+(4-2)=3

此时与X轴交于（-1，0） 不是（3，0）

所以为假