Question

P为△ABC边BC上的一点,且PC=2PB,已知∠ABC=45°,∠APC=60°,求∠ACB的度数.请用对称变化来求.

Answer 1

作C关于AP的对称点C′,

连接AC′、BC′、PC′,

则有PC′=PC=2PB,

∠APC′=∠APC=60°

可证△BC′P为直角三角形（延长PB到D,

使BD=BP,则PD=PC′,

又∠C′PB=60°,

则△C′PD是等边三角形,

由三线合一性质有C′B⊥BP,∠C′BP=90°,

因为∠ABC=45°,所以∠C′BA=45°=∠ABC,

所以BA平分∠C′BC

所以A到BC′的距离=A到BC的距离

又因为∠APC′=∠APC,所以PA平分∠C′PC

所以A到PC′距离=A到PC（即BC）的距离

所以A到BC′的距离=A到PC′的距离

所以A是角平分线上的点,即C′A平分∠MC′P

所以∠AC′P= 1/2∠MC′P=75°=∠ACB

过C作CD⊥AP,垂足位D,连接BD.

∵∠APC=60°∴PC＝2PD

又∵PC=2PB ∴PB＝PD ∴ ∠BDP＝∠PBD＝30°

又∵∠PCD＝30°＝∠PBD ∴BD＝CD

∵∠ABD＝∠ABP－DBP＝15°

∠BAP＝∠APC－∠ABP＝15°

∴AD＝BD

∴AD＝CD

∴∠ACD＝45°

∴∠ACB＝45°＋30°＝75°