已知向量a=(1+cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),c=(1,0),其中α∈(0,π),β∈(π,2

2个回答

  • 因为a∈(0,π),β∈(π,2π)

    所以sina>0,sinβ0,1-cosβ>0,所以向量A在第一象限,向量B在第四象限

    所以tanθ1=sinα/(1+cosα)

    =2sin(α/2)cos(α/2)÷{1+[cos(α/2)]^2-[sin(α/2)]^2}

    =2sin(α/2)cos(α/2)÷{2[cos(α/2)]^2}

    =sin(α/2)/cos(α/2)

    =tan(α/2)

    tan(θ2)=-sinβ/(1-cosβ)

    =-2sin(β/2)cos(β/2)÷{1-[cos(β/2)]^2+[sin(β/2)]^2}

    =-2sin(β/2)cos(β/2)÷{2[sin(β/2)]^2}

    =-cos(β/2)/sin(β/2)

    =-cot(β/2)

    又θ1-θ2=π/6,所以有tan(θ1-θ2)=tanπ/6=(√3)/3

    而tan(θ1-θ2)=(tanθ1-tanθ2)/(1+tanθ1tanθ2)

    ={tan(α/2)-[-cot(β/2)]}/[1-tan(α/2)cot(β/2)]

    =[sin(α/2)sin(β/2)+cos(β/2)cos(α/2)]/[sin(β/2)cos(α/2)-sin(α/2)cos(β/2)]

    =cos[(α-β)/2]/sin[(β-α)/2]

    =-cot[(α-β)/2]

    所以cot[(α-β)/2]=-(√3)/3

    cos[(α-β)/2]=-(√3)/3sin[(α-β)/2]

    代入{cos[(α-β)/2]}^2+{sin[(α-β)/2]}^2=1

    得:(4/3){sin[(α-β)/2]}^2=1

    再由a∈(0,π),β∈(π,2π)得(α-β)/2∈(-π,0),所以sin[(α-β)/2]