Question

已知向量a=(1+cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),c=(1,0),其中α∈（0,π）,β∈（π,2

Answer 1

因为a∈（0,π）,β∈(π,2π）

所以sina>0,sinβ0,1-cosβ>0,所以向量A在第一象限,向量B在第四象限

所以tanθ1=sinα/(1+cosα)

=2sin(α/2)cos(α/2)÷{1+[cos(α/2)]^2-[sin(α/2)]^2}

=2sin(α/2)cos(α/2)÷{2[cos(α/2)]^2}

=sin(α/2)/cos(α/2)

=tan(α/2)

tan(θ2)=-sinβ/(1-cosβ)

=-2sin(β/2)cos(β/2)÷{1-[cos(β/2)]^2+[sin(β/2)]^2}

=-2sin(β/2)cos(β/2)÷{2[sin(β/2)]^2}

=-cos(β/2)/sin(β/2)

=-cot(β/2)

又θ1-θ2=π/6,所以有tan(θ1-θ2)=tanπ/6=(√3)/3

而tan(θ1-θ2)=(tanθ1-tanθ2)/(1+tanθ1tanθ2)

={tan(α/2)-[-cot(β/2)]}/[1-tan(α/2)cot(β/2)]

=[sin(α/2)sin(β/2)+cos(β/2)cos(α/2)]/[sin(β/2)cos(α/2)-sin(α/2)cos(β/2)]

=cos[(α-β)/2]/sin[(β-α)/2]

=-cot[(α-β)/2]

所以cot[(α-β)/2]=-(√3)/3

cos[(α-β)/2]=-(√3)/3sin[(α-β)/2]

代入{cos[(α-β)/2]}^2+{sin[(α-β)/2]}^2=1

得:(4/3){sin[(α-β)/2]}^2=1

再由a∈（0,π）,β∈(π,2π）得(α-β)/2∈(-π,0),所以sin[(α-β)/2]