解题思路:先设剪成的小正三角形的边长为x,用x表示出梯形的周长和面积,从而得到S的解析式,对函数S进行求导,令导函数等于0求出x的值,根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值.
设剪成的小正三角形的边长为x,则梯形的周长为3-x,
梯形的面积为
3
4(1−x2),
∴S=
(3−x)2
3
4(1−x2)(0<x<1),
∴S′=
4
3•
−2(3x−1)(x−3)
(1−x2)2,
令S′=0,∵0<x<1,∴x=[1/3],
当0<x<[1/3]时,S′<0,当[1/3]<x<1时,S′>0,
∴x=[1/3]时,S取极小值,也为最小值,且为
32
3
3.
故答案为:
32
3
3.
点评:
本题考点: 函数的最值及其几何意义.
考点点评: 本题考查函数中的建模应用,以及函数的最值求法,考查导数知识的运用,属于中档题.