Question

已知函数f(x)满足f(x)=f'(1)ex-1 -f(0)x+x2/2

Answer 1

解析：(Ⅰ)若a＜0,则对一切x＞0,f(x)＝e ax －x＜1,这与题设矛盾,又a≠0,故a＜0,而f′(x)＝ae ax －1,令f′(x)＝0,得x＝ ,当时,f′(x)＜0,f(x)单调递减； 当时,f′(x)＞0,f(x)单调递增,故当 时,f(x)取最小值 于是对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,当且仅当 .① 令g(t)＝t－tlnt,则g′(t)＝－lnt,当0＜t＜1时,g′(t)＞0,g(t)单调递增； 当t＞1时,g′(t)＜0,g(t)单调递减,故当t＝1时,g(t)取最大值g(1)＝1,因此,当且仅当 即a＝1时,①式成立,综上所述,a的取值集合为{1}.(Ⅱ)由题意知,令则 令F(t)＝e t －t－1,则F′(t)＝e t －1,当t＜0时,F′(t)＜0,F(t)单调递减； 当t＞0时,F′(t)＞0,F(t)单调递增,故当t＝0,F(t)＞F(0)＝0即e t －t－1＞0,从而,又 所以φ(x 1 )＜0,φ(x 2 )＞0,因为函数y＝φ(x)在区间[x 1 ,x 2 ]上的图象是连续不断的一条曲线,所以存在c∈(x 1 ,x 2 )使φ(c)＝0,φ′(x)＝a 2 e ax ＞0,φ(x)单调递增,故这样的c是唯一的,且,故当且仅当x∈ 时,f′(x)＞k,综上所述,存在x 0 ∈(x 1 ,x 2 )使f′(x 0 )＞k成立,且x 0 的取值范围为