已知椭圆x方/4+Y方=1,点A(1,1/2)一直线过原点交椭圆于BC,求三角形ABC最大面积

2个回答

  • 椭圆:x²/4+y²=1

    设直线为y=kx

    点A(1,1/2)到直线的距离

    d=|k-1/2|/√(1+k²)

    将y=kx代入x²/4+y²=1

    x²+4k²x²-4=0

    (1+4k²)x²-4=0

    x1+x2=0

    x1*x2=-4/(1+4k²)

    线段BC=√(1+k)²[(x1+x2)²-4x1x2]=√(1+k²)[16/(1+4k²)

    S三角形ABC=1/2d×BC=1/2×4×√(k-1/2)²/(1+4k²)

    令t=(k-1/2)²/(1+4k²)

    t=1/4(4k²-4k+1)/(4k²+1)=1/4×[1-4k/(4k²+1)]=1/4[1-1/(k+1/4k)]

    k不存在时

    那么就是BC的直线为x=0

    所以S三角形ABC面积的最大值=1/2×1×2=1

    BC为短轴,2b=2

    k>0

    k+1/4k≥1

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