（Ⅰ）证明：∵对k∈N*，f（f（k））=3k，∴f[f（f（k））]=f（3k）①，
由已知f（f（k））=3k，∴f[f（f（k））]=3f（k）②，
由①、②得f（3k）=3f（k）；
（Ⅱ）若f（1）=1，由已知f（f（k））=3k得f（1）=3，矛盾；
设f（1）=a＞1，∴f（f（1））=f（a）=3，③
由f（k）严格递增，即1＜a⇒f（1）＜f（a）=3．，∴
f(1)≠1
f(1)＜3
f(1)∈ N * ，∴f（1）=2，
由③有f（f（1））=f（a）=3，
故f（f（1））=f（2）=3，
∴f（1）=2，f（2）=3，f（3）=3f（1）=6，f（6）=f（3•2）=3f（2）=9，f（9）=3f（3）=18，f（18）=3f（6）=27，f（27）=3f（9）=54，f（54）=3f（18）=81，…
依此类推归纳猜出：f（3 k-1）=2×3 k-1（k∈N*）．
下面用数学归纳法证明：
（1）当k=1时，显然成立；
（2）假设当k=l（l≥1）时成立，即f（3 l-1）=2×3 l-1，
那么当k=l+1时，f（3 l）=f（3×3 l-1）=3f（3 l-1）=3×2×3 l-1=2•3 l．猜想成立，
由（1）、（2）所证可知，对k∈N *f（3 k-1）=2×3 k-1成立．
（Ⅲ）存在p=3 k-1+1，当p个连续自然数从3 k-1→2×3 k-1时，
函数值正好也是p个连续自然数从f（3 k-1）=2×3 k-1→f（2×3 k-1）=3 k．