Question

幂函数与二次函数已知函数f（x）=ax²+bx+c,b∈R,c∈R.（1）若函数f（x）的最小值是f（-1）=

Answer 1

1. 对f（x）=ax²+bx+c求一阶导数得：f'(x)=2ax+b

当x ＝－1时,

f'(－1)=2a(－1)x+b＝0, b－2a＝0 ---(1)

f（-1）=a(-1)²+b(-1)+c＝0 a-b+c=0---(2)

已知 C= 1-----------------------------------(3)联立（1）,（2）,（3）求得a=1,b=2,c=1

函数f（x）= x² + 2x +1=(x+1)²

大致示意图见下：

∵F（x）=[f（x）,x＞0,-f（x）,x＜0],

x=2＞0,∴F（x）=f（x）= (x+1)² = (2+1)² = 9

x=-2＜0,∴F（x）= -f（x）= - (x+1)² = -(2+1)² = -9

∴F（2）+F（-2）=0

2.当 a=1,c=0

f（x）= ax²+bx+c = x²+bx =（[x+(b/2) ]² -b²/4

当x = -b/2 时,︱f（x）︱≤1,︱-b²/4︱≤1

-2≤b≤2---(1)

∵x∈（0.1] ∴x = -b/2 ,b∈[-2.0) ---(2)

综合（1）,（2）可知b的取值范围是 b∈[-2.0)