Question

求 u=x²+2xy-y² 的共轭调和函数 v(x,y),并使v(0,0)=1

Answer 1

利用柯西黎曼方程,有u'x=2x+2y=v'y,故v=2xy+y^2+f(x),所以v'x=2y+f'(x)=-u'y=2y-2x,故f'(x)=-2x,g(x)=-x^2+C,所以v=2xy+y^2-x^2+C,又v(0,0)=C=1,所以v=2xy+y^2-x^2+1.