过抛物线y2=4x的焦点,作直线与此抛物线相交于两点P和Q,那么线段PQ中点的轨迹方程是(  )

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  • 解题思路:设线段PQ所在的直线方程为 y-0=k(x-1),代入抛物线方程,利用一元二次方程、根与系数的关系求出线段PQ中点坐标

    消去参数 k,即得线段PQ中点的轨迹方程.

    抛物线y2=4x的焦点F(1,0),当线段PQ的斜率存在时,设线段PQ所在的直线方程为 y-0=k(x-1),

    代入抛物线y2=4x得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0,∴x1+x2=

    2k2+4

    k2.

    设线段PQ中点H( x,y ),则由中点公式得 x=

    k2+2

    k2,∴y=k(x-1)=[2/k],k=[2/y],

    ∴y2=2x-2.当线段PQ的斜率存在时,线段PQ中点为焦点F(1,0),满足此式,

    故线段PQ中点的轨迹方程是 y2=2x-2,

    故选B.

    点评:

    本题考点: 轨迹方程.

    考点点评: 本题考查求点的轨迹方程的方法,一元二次方程根与系数的关系,中点公式的应用,利用一元二次方程、根与系数的关系,中点公式求出线段PQ中点坐标是解题的关键.