Question

矩阵A,A=1 2 0 0 1 2 0 0 1 求A^n,(A的n次方）

Answer 1

由于 A= I + 2 N ,其中 I 为单位阵, N = 0 1 0 0 0 1 0 0 0

熟知 N^2 = 0 0 1 0 0 0 0 0 0, 而当 n >= 3 时 N^n = 0.

由二项式定理,得到

A^ n = I + n(2N) + ( n(n-1)/2) (2N)^2

= 1 2n 2n(n-1) 0 1 2n 0 0 1

N^3 = 0 这个可以自己验算,显然当 k >=3 时 N^k = N^3 N^(k-3) = 0.

把 A^n = (I + 2N)^n 按二项式定理展开,所有包含 (2N)^k (k>=3) 的项全部是零,所以只有前面三项.

至于什么是二项式定理就不用我说了吧,不懂的话回去翻翻高中课本或者百度一下