Question

已知函数 f(x)=lo g 4 ( 4 x -1)

Answer 1

（1）4 ^x-1＞0，所以x＞0，所以定义域是（0，+∞），f（x）在（0，+∞）上单调增．

证法一：设0＜x ₁＜x ₂，则 f( x 1 )-f( x 2 )=lo g 4 ( 4 x 1 -1)-lo g 4 ( 4 x 2 -1) = lo g 4

4 x 1 -1

4 x 2 -1

又∵0＜x ₁＜x ₂，∴ 1＜ 4 x 1 ＜ 4 x 2 ， 0＜ 4 x 1 -1＜ 4 x 2 -1

∴

4 x 1 -1

4 x 2 -1 ＜1 ，即 lo g 4

4 x 1 -1

4 x 2 -1 ＜0

∴f（x ₁）＜f（x ₂），f（x）在（0，+∞）上单调增．…5分

证法二：∵y=log ₄x在（0，+∞）上都是增函数，…2分

y=4 ^x-1在（0，+∞）上是增函数且y=4 ^x-1＞0…4分

∴ f(x)=lo g 4 ( 4 x -1) 在（0，+∞）上也是增函数． …5分

（2） f -1 (x)=lo g 4 ( 4 x +1) ，

∴f（2x）=f ^-1（x），即0＜4 ^2x-1=4 ^x+14 ^2x-4 ^x-2=0，解得4 ^x=-1（舍去）或4 ^x=2，

∴ x=lo g 4 2=

1

2 …9分

经检验， x=

1

2 是方程的根． …10分．