Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： x 2 m + y 2 8-m =1．

Answer 1

（1）由题意得，m＞8-m＞0，解得4＜m＜8，

所以实数m的取值范围是（4，8）；

（2）因为m=6，所以椭圆C的方程为

x 2

6 +

y 2

2 =1 ，

①设点P坐标为（x，y），则

x 2

6 +

y 2

2 =1 ，

因为点M的坐标为（1，0），

所以PM ²=（x-1） ²+y ²= x 2 -2x+1+2-

x 2

3 =

2

3 x 2 -2x+3 =

2

3 (x-

3

2 ) 2 +

3

2 ， x∈[-

6 ，

6 ] ，

所以当x=

3

2 时，PM的最小值为

6

2 ，此时对应的点P坐标为（

3

2 ，±

5

2 ）；

②由a ²=6，b ²=2，得c ²=4，即c=2，

从而椭圆C的右焦点F的坐标为（2，0），右准线方程为x=3，离心率e=

6

3 ，

设A（x ₁，y ₁），B（x ₂，y ₂），AB的中点H（x ₀，y ₀），

则

x 1 2

6 +

y 1 2

2 =1 ，

x 2 2

6 +

y 2 2

2 =1 ，

两式相减得，

x 1 2 - x 2 2

6 +

y 1 2 - y 2 2

2 =0 ，即 k AB =

y 1 - y 2

x 1 - x 2 =-

x 0

3 y 0 ，

令k=k _AB，则线段AB的垂直平分线l的方程为y-y ₀=-

1

k （x-x ₀），

令y=0，则x _N=ky ₀+x ₀=

2

3 x 0 ，

因为F（2，0），所以FN=|x _N-2|=

2

3 | x 0 -3| ，

因为AB=AF+BF=e（3-x ₁）+e（3-x ₂）=

2

6

3 |x ₀-3|．

故

AB

FN =

2

6

3 ×

3

2 =

6 ，即

AB

FN 为定值

6 ．