解题思路：（1）根据奇函数的性质和条件得：
f(a)−f(b)
a−b
＝
f(a)+f(−b)
a+(−b)
＞0
，由a＞b判断出f（a）、f（b）的大小；
（2）根据（1）和单调性的定义可判断出函数的单调性，再由奇函数的性质得：f（x-c）+f（x-c2）＞0等价于f（x-c）＞f（c2-x），根据单调性列出关于x得不等式，求出x的范围即不等式的解集．
（1）∵f（x）是R上的奇函数，
∴
f(a)−f(b)
a−b＝
f(a)+f(−b)
a+(−b)＞0，
又∵a＞b，∴a-b＞0，∴f（a）-f（b）＞0，
即f（a）＞f（b）…（6分）
（2）由（1）知，a＞b时，都有f（a）＞f（b），
∴f（x）在R上单调递增，
∵f（x）为奇函数，
∴f（x-c）+f（x-c2）＞0等价于f（x-c）＞f（c2-x）
∴不等式等价于x-c＞c2-x，即c2+c＜2x，
∵存在实数x∈[
1
2，
3
2]使得不等式c2+c＜2x成立，
∴c2+c＜3，即c2+c-3＜0，
解得，−
1+
13
2＜c＜
13−1
2，
故c的取值范围为(−
1+
13
2，
13−1
2)．
点评：
本题考点： 函数奇偶性的性质．
考点点评： 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及抽象函数的单调性，不等式的解法等，属于中档题．