Question

已知θ∈（0，π），且sinθ，cosθ是方程5x2−x−125＝0的两根，求sin3θ+cos3θ及tanθ+1tan

Answer 1

解题思路：利用根与系数之间的关系得到sinθ+cosθ=[1/5]，根据θ∈（0，π），再结合平方关系，求出sinθ，cosθ的值，然后代入直接求出tanθ和sin³θ+cos³θ的值即可得到结果．

∵sinθ，cosθ 是方程5x²-[1/5] x-[12/5]=0的两根，

∴sinθ+cosθ=[1/5]，θ∈（0，π ），

sinθ cosθ=-[12/25]＜0．

解得x₁=[4/5]，x₂=-[3/5]．

∵sinθ＞0，cosθ＞0，∴sinθ=[4/5]，cosθ=-[3/5]．

则tanθ=-[4/3]，得到tanθ+

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tanθ=-[4/3]-[3/4]=-[25/12]

sin³θ+cos³θ=[37/125]．

点评：

本题考点： 根与系数的关系；同角三角函数间的基本关系．

考点点评： 本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，考查同角的三角函数之间的关系，本题解题的关键是根据所给的角的范围，求出一元二次方程的两个根，本题是一个中档题目．