解题思路：根据题意知道后来长方形的长是a+1厘米，宽是b+1厘米，根据长方形的面积公式，分别求出原来与后来的长方形的面积，再用后来长方形的面积减去原来长方形的面积就是比原来增加的面积，由此做出选择．
后来长方形的面积：（a+1）x（b+1）=ab+a+b+1（平方厘米），
原来长方形的面积：a×b=ab（平方厘米），
比原来增加的面积：ab+a+b+1-ab=a+b+1（平方厘米），
故选：A．
点评：
本题考点： 用字母表示数；长方形、正方形的面积．
考点点评： 解答此题的关键是利用长方形的面积公式，分别求出原来与后来长方形的面积，再相减即可．