Question

设数列{an}，a1=[5/6]，若以a1，a2，…，an为系数的二次方程：an-1x2-anx+1=0（n∈N*且n≥

Answer 1

（1）证明：∵α+β=

an

an−1，αβ=[1

an−1代入3α-αβ+3β=1得a_n=

1/3]a_n-1+[1/3]，

∴

an−

1

2

an−1−

1

2=

1

3an−1+

1

3−

1

2

an−1−

1

2=[1/3]为定值．

∴数列{a_n-[1/2]}是等比数列．

（2）∵a₁-[1/2]=[5/6]-[1/2]=[1/3]，

∴a_n-[1/2]=[1/3]×（[1/3]）^n-1=（[1/3]）ⁿ．

∴a_n=（[1/3]）ⁿ+[1/2]．

（3）S_n=（[1/3]+[1

32++

1

3n）+

n/2]=