已知1^2+2^2+3^2+…+2013^2+2014^2被3除的余数是m,被5除的余数是n.求m,n及其它相关m,n的表达式值.
下面求得m,n.其他表达式求值略去.
方法一：
依公式：1^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 得
1^2+2^2+3^2+…+2013^2+2014^2=2014*2015*4029/6=1007*2015*1343
故
m mod 3==1007*2015*1343 mod 3 ==2*2*2 =8 ==2,即m=2
n mod 5==1007*2015*1343 mod 5 ==2*0*3 =0,即n=0
下略.
注：如果不记得,或因不理解不能求证此公式或不允直接使用此公式,可以用下面的方法二.
方法二：
找到序列1^2,2^2,3^2,...除以3或5的余数的周期性：
除数为3,余数周期序列为：1,1,0,如此循环.
除数为5,余数周期序列为：1,4,4,1,0,如此循环.
因为2014=3*671+1于是m相当于 (1+1+0)*671+(1)除以3的余数,即1343 除以3余2.
因为2014=5*402+4,于是n相当于(1+4+4+1+0)*402+(1+4+4+1)除以5的余数,易见为0.
故m=2,n=0.下略.