解:由已知,设双曲线的标准方程为(x^2÷a^2)-(y^2÷b^2)=1 (a>0,b>0)
则双曲线的左焦点为F1(-c,0),右顶点为A(a,0),直线MN为x=-c,
c^2-a^2=b^2,离心率e=c÷a
因为MN⊥x轴
所以,把x=-c代入到(x^2÷a^2)-(y^2÷b^2)=1中,得
(c^2÷a^2)-(y^2÷b^2)=1
所以,
y^2÷b^2=(c^2÷a^2)-1
y^2÷b^2=(c^2-a^2)÷a^2
y^2÷b^2=b^2÷a^2
y^2=b^4÷a^2
所以,y=-b^2÷a或y=b^2÷a
即M(-c,b^2÷a),N(-c,-b^2÷a)
因为以MN为直径的圆恰好经过双曲线的右顶点A(a,0)
所以,∠MAN=90°
所以,AM⊥AN
所以,向量AM⊥向量AN
所以,向量AM×向量AN=0
因为
向量AM=(-c-a,b^2÷a)
向量AN=(-c-a,-b^2÷a)
所以,(-c-a)×(-c-a)-(b^2÷a)×(b^2÷a)=0
所以,(c+a)^2-(b^2÷a)^2=0
所以,[c+a+(b^2÷a)][c+a-(b^2÷a)]=0
因为c+a+(b^2÷a)>0即c+a+(b^2÷a)不等于0
所以,c+a-(b^2÷a)=0
所以,ac+a^2-b^2=0
所以,ac+a^2-(c^2-a^2)=0
所以,c^2-ac-2a^2=0
所以,(c^2÷a^2)-(ac÷a^2)-(2a^2÷a^2)=0÷a^2
所以,e^2-e-2=0
所以,(e+1)(e-2)=0
因为双曲线离心率e>1即e不等于-1
所以,e=2
所以,双曲线的离心率等于2