解题思路:(1)有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形,故可根据正方形的定义证明四边形PQEF是否是正方形.
(2)证PE是否过定点时,可连接AC,证明四边形APCE为平行四边形,即可证明PE过定点.
(3)当对角线最小时,面积最小,对角线最大值时,面积最大.
(1)在正方形ABCD中,AP=BQ=CE=DF,AB=BC=CD=DA,
∴BP=QC=ED=FA.
又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°,
∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF.
∴FP=PQ=QE=EF,∠APF=∠PQB,
∴∠APF+∠BPQ=∠PQB+∠BPQ=90°,
∴四边形PQEF为正方形;
(2)连接PC、AE,
∵AP平行且等于EC,
∴四边形APCE为平行四边形.
∴O为对角线AC的中点,
∴对角线PE总过AC的中点O;
(3)正方形ABCD与正方形PQEF的对角线交点是重合的,
当OP⊥AB时,四边形PQEF面积最小,为原正方形面积的一半,此时S正方形PQEF=[1/2]S正方形ABCD.
当P与顶点B重合时,面积最大,S正方形PQEF=S正方形ABCD.
点评:
本题考点: 四边形综合题.
考点点评: 本题考查了四边形的综合题,在证明过程中,应用了正方形的性质和平行四边形的判定定理,为使问题简单化,在证明过程中,可适当加入辅助线,此题难度一般.