Question

（2012•德州）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方

Answer 1

（1）证明：如图1，∵PE=BE，

∴∠EBP=∠EPB．

又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．

即∠PBC=∠BPH．

又∵AD∥BC，

∴∠APB=∠PBC．

∴∠APB=∠BPH．

（2）△PHD的周长不变为定值8．

证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．

由（1）知∠APB=∠BPH，

在△ABP和△QBP中

∠APB＝∠BPH

∠A＝∠BQP

BP＝BP，

∴△ABP≌△QBP（AAS）．

∴AP=QP，AB=BQ．

又∵AB=BC，

∴BC=BQ．

又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，

∴△BCH≌△BQH．

∴CH=QH．

∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．

（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．

又∵EF为折痕，

∴EF⊥BP．

∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，

∴∠EFM=∠ABP．

又∵∠A=∠EMF=90°，

∴△EFM≌△PBA（ASA）．

∴EM=AP=x．

∴在Rt△APE中，（4-BE）²+x²=BE²．

解得，BE＝2+

x2

8．

∴CF＝BE−EM＝2+

x2

8−x．

又∵折叠的性质得出四边形EFGP与四边形BEFC全等，

∴S＝

1

2(BE+CF)BC＝

1

2(4+

x2

4−x)×4．

即：S＝

1

2x2−2x+8．

配方得，S＝

1

2(x−2)2+6，

∴当x=2时，S有最小值6．