Question

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是BC的中点．

Answer 1

解题思路：（1）根据正棱柱的性质，得到CC₁⊥平面ABC，得CC₁⊥AD，正三角形ABC中利用“三线合一”证出AD⊥BC，利用线面垂直判定定理即可证出AD⊥面BCC₁B₁．

（2）连结A₁B，交AB₁于E，连接DE，△A₁BC中利用中位线定理证出DE∥A₁C，利用线面平行判定定理即可证出

A₁C∥平面AB₁D．

证明：（1）∵棱柱ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱

∴CC₁⊥平面ABC，

又∵AD⊂平面ABC，∴CC₁⊥AD

又∵正三角形ABC中，D是BC的中点．

∴AD⊥BC

∵BC∩CC₁=C，∴AD⊥面BCC₁B₁．

（2）连结A₁B，交AB₁于E，连接DE，

∵D为BC的中点，E是A₁B的中点，

∴DE∥A₁C且DE=[1/2]A₁C

又∵A₁C⊄平面AB₁D，DE⊂平面AB₁D．

∴A₁C∥平面AB₁D．

点评：

本题考点： 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题在正三棱柱中证明线面垂直和线面平行，着重考查了正棱柱的性质、线面垂直平行的判定与性质等知识，属于中档题．