如图所示,点E、F分别为正方形ABCD边AB、BC的中点,DF、CE交于点M,CE的延长线交DA的延长线于G,试探索:

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  • 解题思路:(1)由题中条件不难得出△EBC≌△FCD,在通过角之间的转化,可得出DF与CE的位置关系.

    (2)△GDM为直角三角形,由△GAE≌△CBE,可得GA=CB,进而可求出MA与DG的大小关系.

    (1)∵四边形ABCD是正方形,

    ∴AB=BC=CD,∠B=∠DCF=90°.

    ∵E、F分别是AB、BC的中点,

    ∴EB=FC.

    ∴△EBC≌△FCD(SAS).

    ∴∠ECB=∠FDC(全等三角形的对应角相等).

    ∵∠FDC+∠DFC=90°,

    ∴∠ECB+∠DFC=90°.

    ∴∠CMF=90°(三角形内角和定理).

    ∴DF⊥CE(垂直定义).

    (2)在△AEG和△BEC中,

    ∵∠GAE=∠B=90°,AE=BE,∠GEA=∠CEB,

    ∴△GAE≌△CBE(ASA).

    ∴GA=CB(全等三角形的对应边相等).

    ∵正方形ABCD中,CB=AD,

    ∴GA=AD.

    ∵DF⊥CG,∴MA=[1/2]DG(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半).

    点评:

    本题考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.

    考点点评: 掌握正方形的性质,能够运用其性质求解一些简单的计算问题.