Question

如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ

Answer 1

解题思路：根据等边三角形性质得出∠ABC=60°，根据全等得出∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，求出∠PBQ=60°，即可判断A，根据勾股定理的逆定理即可判断B；求出∠BQP=60°，∠PQC=90°，即可判断C，求出∠APC+∠QPC=150°和PQ≠QC即可判断D．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=60°，

∵△BQC≌△BPA，

∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，

∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，

∴△BPQ是等边三角形，

∴PQ=BP=4，

∵PQ²+QC²=4²+3²=25，PC²=5²=25，

∴PQ²+QC²=PC²，

∴∠PQC=90°，即△PQC是直角三角形，

∵△BPQ是等边三角形，

∴∠BOQ=∠BQP=60°，

∴∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，

∴∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，

∵∠PQC=90°，PQ≠QC，

∴∠QPC≠45°，

即∠APC≠135°，

∴选项A、B、C正确，选项D错误．

故选D．

点评：

本题考点： 等边三角形的判定与性质；全等三角形的性质；勾股定理的逆定理．

考点点评： 本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．