Question

已知复数z1,z2满足10z1²+5z2²=2z1z2,且z1+2z2为纯虚数,求证：3z1-z2为实数

Answer 1

10z1^2+5z2^2=2z1z2

9z1^2+z2^2+z1^2+4z2^2=2z1z2

(9z1^2-6z1z2+z2^2)+(z1^2+4z1z2+4z2^2)=0

(3z1-z2)^2+(z1+2z2)^2=0

而：z1+2z2为纯虚数,可表示为:z1+2z2=ai (其中a为实数)

所以：(3z1-z2)^2-a^2=0

(3z1-z2)^2=a^2>0

所以:3z1-z2为实数