Question

设两个集合P={x|x=2n+1,n∈Z},集合Q={x|x=4n±1,n∈Z},证明P=Q的解题方案

Answer 1

要证明p=Q,只要证明PQ互为对方的子集就可以了

（1）设a∈P,则a=2n+1,a∈Z

若a是偶数,则可设a=2b,则x=2×2b+1=4b+1,所以a∈Q

若a是奇数,则可设a=2b-1,则x=2×(2b-1)+1=4b-1,所以a∈Q

所以不论a是奇数还是偶数,都有a∈Q,所以p是Q的子集

（2）设m∈Q,则m=4n±1

因为 m=4n+1=2×2n+1 或 m=4n-1=2×（2n-1）+1 ,又因为m∈Z ,2n∈Z ,2n-1∈Z

所以Q是p的子集

综上p=Q