解题思路：（1）①作PG∥BC交AC于G，DH∥AB交BQ于H，推出△DHC，△APG为等边三角形根据三角形全等，求出DP=DQ；②根据AE=EG，GD=DC，即可算出DE=[1/2]AC；
（2）分为两种情况来考虑，当P点在线段AB上或在射线AB上，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质找到相等关系，经过等量转换即可求出答案；
（3）分两种情况进行分析，当0＜x≤4时，无解；当x＞4时，结合图形找相等面积的三角形，求出PE的长度，用含x的代数式表示出△PCQ的面积，即可根据题意得出关于x的一元二次方程，解方程，得x的值．
（1）证明：①作PG∥BC交AC于G，DH∥AB交BQ于H，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴△DHC，△APG为等边三角形，
∵AP=CQ，
∴PG=CQ，∠PGC=∠DCQ=120°，
∵∠GPD=∠Q，
∵△PDG≌△QDC，
∴DP=DQ，
②能确定，
∵PE⊥AC，
∴AE=EG，
∵GD=DC，AB=BC=AC=4，
∴GD+EG+AE+DC=4，
∵2（GD+EG）=4，
即DE=2；
（2）①∵PD=DQ，DH∥AB，AP=x，CD=y，
∴DH=[1/2]BP，
∵AB=4，
∴BP=4-x或BP=x-4，
∴y=[1/2]（4-x）=2-[1/2]x（0＜x≤4）或y=[1/2]x-2（x＞4），
②当0＜x≤4时，无解，
当x＞4时，
∵PE⊥AC，∠A=60°AP=x，
∴PE=sin60°×x=
3
2x，
∵AB=BC=AC=4，
∴S△ABC=4
3，
∵PD=DQ，
∴结合图形可知S△PCQ=2S△PDC=2×[y•PE/2]，
∴2×[y•PE/2]=4
3，
∴（[1/2]x-2）×
3
2x=4
3，
化简得：x2-4x-16=0，
解得：x1=2-2
点评：
本题考点： 等边三角形的性质；根据实际问题列一次函数关系式；平行四边形的判定与性质．
考点点评： 本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、根据实际问题列一次函数关系式等，本题关键在于作出辅助线，找出等量关系