Question

已知a，b，c为正数，且两两不等，求证：2（a3+b3+c3）＞a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）．

Answer 1

解题思路：不妨设a＞b＞c＞0，化简 2（a³+b³+c³）-a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）为 （a-b）²（a+b）+（b-c）²（b+c）+（c-a）²（c+a）＞0，从而证得不等式．

证明：不妨设a＞b＞c＞0，则 （a-b）²＞0，（b-c）²＞0，（c-a）²＞0．

由于 2（a³+b³+c³）-a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）=a²（a-b）+a²（a-c）+b²（b-c）+b²（b-a）+c²（c-a）+c²（c-b）

=（a-b）²（a+b）+（b-c）²（b+c）+（c-a）²（c+a）＞0，

故有 2（a³+b³+c³）＞a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）成立．

点评：

本题考点： 分析法和综合法．

考点点评： 本题主要考查用综比较法证明不等式，式子的变形是解题的关键，属于中档题．