Question

数列{an}的前n项和为Sn，存在常数A，B，C，使得an+Sn=An2+Bn+C对任意正整数n都成立．若数列{an}为

Answer 1

解题思路：已知数列{a_n}为等差数列设公差为d，根据数列通项公式，可前n项和公式代入a_n+S_n=An²+Bn+C，可以求出A、B、C，再进行证明；

因为{a_n}为等差数列，设公差为d，由a_n+S_n=An²+Bn+C，

得a₁+（n-1）d+na₁+[1/2]n（n-1）d=a_n+S_n=An²+Bn+C，…（2分）

即（[1/2]d-A）n²+（a₁+[d/2]-B）n+（a₁-d-C）=0对任意正整数n都成立．…（4分）

所以

1

2d−A＝0

a1+

1

2d−B＝0

a1−d−C＝0，∴A=[1/2]d，B=a₁+[1/2]d，C=a₁-d，

所以3A-B+C=0．…（10分）

点评：

本题考点： 等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．

考点点评： 此题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，是一道基础题，解题过程中用到了待定系数法；