Question

求“方程(35)x+(45)x=1的解”有如下解题思路：设函数f(x)＝(35)x+(45)x，则函数f（x）在R上单调

Answer 1

解题思路：类比求“方程

(

3

5

)

x

+(

4

5

)

x

=1的解的解题思路，设f（x）=x³+x，利用导数研究f（x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x²=2x+3，解之即得方程x⁶+x²=（2x+3）³+2x+3的解集．

类比上述解题思路，设f（x）=x³+x，由于f′（x）=3x²+1≥0，则f（x）在R上单调递增，

由x⁶+x²=（2x+3）³+2x+3即（x²）³+x²=（2x+3）³+2x+3，

∴x²=2x+3，

解之得，x=-1或x=3．

所以方程x⁶+x²=（2x+3）³+2x+3的解集为{-1，3}．

故答案为：{-1，3}．

点评：

本题考点： 类比推理．

考点点评： 本题主要考查了类比推理，考查了导数与单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．