Question

设A，B分别为m×n，n×m矩阵，且秩（A）=r，秩（B）=n-r，AB=0，证明：A的r个线性无关行向量就是齐次线性方

Answer 1

解题思路：首先，证明A的行向量是B^TY=0的解向量；然后，证明B^TY=0的基础解系所含向量的个数为r个即可．

证明：由AB=0，得B^TA^T=0，

∴A^T的列向量是齐次线性方程组B^TY=0的解

即A的行向量是齐次线性方程组B^TY=0的解

又由秩（A）=r，秩（B）=n-r，以及秩（A）=秩（A^T），秩（B）=秩（B^T），知

B^TY=0的基础解系含有n-秩（B^T）=r个解向量

且A恰好含有r个线性无关行向量

∴A的r个线性无关行向量就是齐次线性方程组B^TY=0的一个基础解系．

点评：

本题考点： 基础解系、通解及解空间的概念．

考点点评： 此题考查齐次线性方程组解的结构和解向量的判定，是基础知识点．